Abstract:目前混沌系统与加密技术相结合是现如今最热门的一个课题，虽然有大量的加密算法面世，但是这些加密算法并不成熟，仍然需要进一步的研究。本篇文章采用像素位置置乱变换和像素值替代变换相结合的加密思想，设计出一种基于混沌的数字图像加密算法。引入了整数域上的逆仿射变换，算法中采用二维 logistic 混沌映射相结合的方法，生成多组混沌序列，像素置乱变换与灰度值替换都由这些混沌序列所控制。多混沌序列产生的密钥空间大于单一的混沌序列所产生的密钥空间，因此本篇文章研究的算法加密强度很高。
1. 虫口模型—Logistic混沌映射。
Logistic映射是一种可产生的非线性系统，其模型如下所示：
图1 Logistic映射分岔图像
clear all
clc
m(1)=0.632;
N=196601;
m1=[];
for u1=2.6:0.02:4
for i=1:N-1
m(i+1)=u1*m(i)*(1-m(i));
end
m1=[m1 m];
end
plot(m1,'k.')
2. 像素灰度值替代设计图像加密
设图像(i,j)处的灰度值为 I(i,j)，满足 1≤i≤M、1≤j≤N，I′(i,j)表示替换后 I(i,j)在(i,j)处的灰度值。本篇文章中，像素值的替代变换是在空域中进行的，我们设计了两种思路用于实现混沌序列与像素值的替换操作。
像素替换的公式如下:
I′(i,j)=((r1(i,j)⊕I(i,j)⊕r2(i,j)+L r3(ij)))modL)mod256
式中：L表示图像的颜色深度;mod表示求模运算;⊕表示按位异或运算。r1,r2,r3表示的是混沌序列值，替换变换的密钥由r1,r2,r3对应的混沌系统提供，变换可多次进行，如此加密效果更好。设重复次数为n，与混沌模型的初值和参数共同作为这一部分的密钥，增大了密钥的空间，提高了加密强度。若图像很大时，通过上式能够看出r1,r2,r3模版矩阵需要随之增大，如此就大大减小了加密效率。为此，我们可以通过分块处理的方式对图像进行加密，加密效率明显提高。图2是原始图像和加密后的图像:
图2 原始图像和加密后的图像
jiami.m
function e=jiami(x,data)
m(1)=data(1);
m1(1)=data(2);
m2(1)=data(3);
[a,b]=size(x);
N=a*b;
u1=data(4);
%u=4;
for i=1:N-1
m(i+1)=u1*m(i)*(1-m(i));
end
m=mode(255*m,256);
m=uint8(m);
u2=data(5);
for i=1:N-1
m1(i+1)=u2*m1(i)*(1-m1(i));
end
m1=mode(255*m1,256);
m1=uint8(m1);
u3=data(6);
for i=1:N-1
m2(i+1)=u3*m2(i)*(1-m2(i));
end
sigma=data(7);
m2=mode(255*m2,256);
m2=uint8(m2);
%n=1;
n=data(8);
x=double(x);
m=double(m);
m1=double(m1);
m2=double(m2);
for i=1:a
for j=1:b
e(i,j)=m(n)+m1(n);
e(i,j)=bitxor(e(i,j),m2(n));
e(i,j)=e(i,j)+x(i,j);
e(i,j)=mod(e(i,j),255);
nn=n+1;
end
end
main.m
x=imread('lena.png');
x=double(x(:,:,1));
r=input('请输入加密密钥key1：');
e=jiami(x,r);
subplot(121);
imshow(x,[]);
title('原始图像');
subplot(122);
imshow(e,[]);
title('加密图像');
密钥为[0.343 0.432 0.63 3.769 3.82 3.85 0.1 1]八位
3. 加密图像解密
解密是加密的逆，公式如下：
I(i,j)=(r1(i,j)⊕(I′(i,j)+r3(i,j))modL)⊕r2(i,j))mod256
jiemi1.m
function kk=jiemi1(e,data)
e=double(e);
[a,b]=size(e);
e=floor(e);
m3(1)=data(1);
m4(1)=data(2);
m5(1)=data(3);
u1=data(4);
N=a*b;
for i=1:N-1
m3(i+1)=u1*m3(i)*(1-m3(i));
end
m3=mode(255*m3,256);
m3=uint8(m3);
u2=data(5);
for i=1:N-1
m4(i+1)=u2*m4(i)*(1-m4(i));
end
m4=mode(255*m4,256);
m4=uint8(m4);
u3=data(6);
for i=1:N-1
m5(i+1)=u3*m5(i)*(1-m5(i));
end
m5=mode(255*m5,256);
m5=uint8(m5);
sigma=data(7);
n=data(8);
m3=double(m3);
m4=double(m4);
m5=double(m5);
for i=1:a
for j=1:b
kk(i,j)=m3(n)+m4(n);
kk(i,j)=bitxor(kk(i,j),m5(n));
kk(i,j)=e(i,j)-kk(i,j);
kk(i,j)=mod(kk(i,j),255);
nn=n+1;
end
end
函数调用形式
kk=jiemi1(e,r);
%e为加密图像，r为密钥，为8位
图3是解密过程:
图3 解密图像
由图可以知道，错误的密钥是解密错误的，只有正确的密钥才能解密出原始图像，而且密钥的精确度非常高，能到小数点后几位。